Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa jest jedną z najczęściej spotykanych funkcji matematycznych. Z tego powodu warto przyjrzeć się jej bliżej i zapoznać się z jej formą oraz własnościami.

Funkcję kwadratową opisać można równaniem:

Gdzie:

• $y$ – wartość funkcji
• $a, b, c$ – stałe funkcji
• $x$ – zmienna funkcji

Wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona mogą być skierowane w górę lub w dół w zależności od znaku stałej $a$.

Kształt paraboli

Ramiona w górę ($a > 0$)

Ramiona w dół ($a < 0$)

Jeżeli $a = 0$, to funkcja kwadratowa staje się liniową.

Miejsca zerowe funkcji

Aby określić miejsca zerowe funkcji kwadratowej, najpierw obliczamy wyróżnik (deltę):

gdzie:

• $\Delta$ – wyróżnik funkcji kwadratowej
• $a, b, c$ – stałe funkcji kwadratowej

Kiedy obliczymy wyróżnik, możemy określić liczbę miejsc zerowych, czyli punktów przecięcia funkcji z osią $x$:

• $\Delta < 0$ – brak miejsc zerowych
• $\Delta = 0$ – jedno miejsce zerowe
• $\Delta > 0$ – dwa miejsca zerowe

Aby kontynuować obliczenia, musimy znać pierwiastek z wyróżnika:

Następnie, korzystając ze wzorów, możemy obliczyć wartość zmiennej $x$, dla której $y = 0$:

Ekstremum funkcji

Funkcja przyjmuje wartość ekstremalną dla argumentu:

Rodzaj ekstremum zależy od znaku stałej $a$:

• $a < 0$ – ekstremum będzie wartością maksymalną
• $a > 0$ – ekstremum będzie wartością minimalną

Wartość ekstremalną liczymy ze wzoru:

Poniżej zobrazowano położenie ekstremum na wykresie:

Maksimum ($a < 0$)

Minimum ($a > 0$)