Metoda Przemieszeń
Metoda przemieszczeń – metoda zwana także metodą odkształceń, pozwalająca obliczać układy statycznie niewyznaczalne.
Co to są układy statycznie niewyznaczalne możesz dowiedzieć się tutaj.
Algorytm obliczeń:
Co to są układy statycznie niewyznaczalne możesz dowiedzieć się tutaj.
Algorytm obliczeń:
- Wyznaczanie stopnia kinematycznej niewyznaczalności układu
- Przyjęcie układu podstawowego i układu równań kanonicznych
- Obliczenie łańcucha kinematycznego
- Obliczanie układu równań kanonicznych (macierz sztywności)
- Obliczanie momentów przywęzłowych, sił tnących i sił normalnych
- Obliczenie i sprawdzanie reakcji podporowych
Zadanie: Wyznaczyć wykresy M, T, N dla dla ramy przedstawionej na poniższym schemacie przy pomocy metody przemieszczeń.
1. Schemat zadania
Współrzędne węzłów:
węzeł 1 x=[0.000][m], y=[0.000][m]
węzeł 2 x=[2.000][m], y=[0.000][m]
węzeł 3 x=[2.000][m], y=[2.000][m]
węzeł 1 x=[0.000][m], y=[0.000][m]
węzeł 2 x=[2.000][m], y=[0.000][m]
węzeł 3 x=[2.000][m], y=[2.000][m]
Przyjęto przekrój podstawowy: I= 3060[cm4] E= 205[GPa]
Globalne EI= 6273[kNm²]
Globalne EA= 809750[kN]
Globalne EI= 6273[kNm²]
Globalne EA= 809750[kN]
2. Ustalenie stopnia kinematycznej niewyznaczalności układu SKN
Węzły o nieznanych obrotach:
ϕ=1 = węzły – podpory – przeguby
SKN=ϕ+Δ=2
Układ jest: 2 krotnie kinematycznie niewyznaczalny
ϕ=1 = węzły – podpory – przeguby
SKN=ϕ+Δ=2
Układ jest: 2 krotnie kinematycznie niewyznaczalny
3. Przyjęcie układu podstawowego
Układ równań kanonicznych
4. Obliczenie zależności kątowych obrotu cięciw prętów układu potrzebnych do wyznaczenia macierzy sztywności dla stanu Stan δ2 Δ=1
Wybieram węzeł przesuwany 1
Węzeł przemieści się wtedy o dx= 1.000 dy= 0.000
Węzeł przemieści się wtedy o dx= 1.000 dy= 0.000
Przyjęte przemieszczenie i kąt podstawiam do łańcuchów kinematycznych, jako wiadome
Łańcuch obliczany: 1-2 2-3
Po obliczeniu równania
5. Stan φ1
6. Stan δ2
7. Stan P – obciążenie mpq
q pręt =1-2
P pręt =2-3
8. Współczynniki Macierzy Sztywności i Wyrazów Wolnych
9. Układ równań kanonicznych
Po rozwiązaniu układu otrzymano:
10. Obliczenie Momentów przywęzłowych
Zgodnie ze wzorem:
11. Obliczenie Sił Tnących
12. Obliczenie sił Normalnych
Aby Węzeł był w równowadze to suma jego składowych sił i reakcji rzutowana na oś X i oś Y musi być równa zero
ΣSx – To suma sił prętowych rzutowana na oś X w Węźle
ΣRx – To suma reakcji podporowych rzutowana na oś X w Węźle – jeżeli istnieje
ΣPx – To suma odziaływania zewnętrznego rzutowana na oś X w Węźle – jeżeli jest przyłożona
ΣSy – To suma sił prętowych rzutowana na oś Y w Węźle
ΣRy – To suma reakcji podporowych rzutowana na oś Y w Węźle – jeżeli istnieje
ΣPy – To suma odziaływania zewnętrznego rzutowana na oś Y w Węźle – jeżeli jest przyłożona
ΣRx – To suma reakcji podporowych rzutowana na oś X w Węźle – jeżeli istnieje
ΣPx – To suma odziaływania zewnętrznego rzutowana na oś X w Węźle – jeżeli jest przyłożona
ΣSy – To suma sił prętowych rzutowana na oś Y w Węźle
ΣRy – To suma reakcji podporowych rzutowana na oś Y w Węźle – jeżeli istnieje
ΣPy – To suma odziaływania zewnętrznego rzutowana na oś Y w Węźle – jeżeli jest przyłożona
Obliczenia rozpoczynamy od Węzła, dla którego liczba niewiadomych sił w Prętach jest <=2
Elementy szukane oznaczono kolorem czerwonym.
Elementy szukane oznaczono kolorem czerwonym.
Elementy zerowe są przedstawione w tle rysunku.
Wybrano Węzeł =1
Wybrano Węzeł =1
Wybrano Węzeł =2
13. Obliczenie Reakcji Podporowych
Aby Węzeł był w równowadze to suma jego składowych sił i reakcji rzutowana na oś X i oś Y musi być równa zero
ΣSx – To suma sił prętowych rzutowana na oś X w Węźle
ΣRx – To suma reakcji podporowych rzutowana na oś X w Węźle – jeżeli istnieje
ΣPx – To suma odziaływania zewnętrznego rzutowana na oś X w Węźle – jeżeli jest przyłożona
ΣSy – To suma sił prętowych rzutowana na oś Y w Węźle
ΣRy – To suma reakcji podporowych rzutowana na oś Y w Węźle – jeżeli istnieje
ΣPy – To suma odziaływania zewnętrznego rzutowana na oś Y w Węźle – jeżeli jest przyłożona
ΣRx – To suma reakcji podporowych rzutowana na oś X w Węźle – jeżeli istnieje
ΣPx – To suma odziaływania zewnętrznego rzutowana na oś X w Węźle – jeżeli jest przyłożona
ΣSy – To suma sił prętowych rzutowana na oś Y w Węźle
ΣRy – To suma reakcji podporowych rzutowana na oś Y w Węźle – jeżeli istnieje
ΣPy – To suma odziaływania zewnętrznego rzutowana na oś Y w Węźle – jeżeli jest przyłożona
Wybrano Węzeł =1
Wybrano Węzeł =3
14. Sprawdzenie Reakcji Podporowych Moment
Sprawdzenia poprawności wyznaczenia reakcji podporowych dokonamy w punkcie [(-1); (-1)] układzie XY
Punkt musi być tak dobrany, aby wszystkie siły i reakcje brały udział w obliczaniu Sumy Momentów
W punkcie tym Suma Momentów od wszystkich sił i reakcji powinna wynosić M=0
Punkt musi być tak dobrany, aby wszystkie siły i reakcje brały udział w obliczaniu Sumy Momentów
W punkcie tym Suma Momentów od wszystkich sił i reakcji powinna wynosić M=0
15. Sprawdzenie Reakcji Podporowych Rzut X
16. Sprawdzenie Reakcji Podporowych Rzut Y
17. Ocena Wyników Obliczeń
Z uwagi na spełnione warunki:
Ocena: obliczenia prawidłowe
18. Sprawdzenie Kinematyczne
Sprawdzamy czy przemieszczenia w poszczególnych punktach spełniają warunki podparcia i ciągłości. Wystarczy sprawdzić tyle składowych ile wynosi SSN (Stopień Statycznej Niewyznaczalności). Przekształcamy schemat naszego układu na statycznie wyznaczalny poprzez redukcje Nadliczbowych więzów. W miejscach usuniętych nadliczbowych przykładamy kolejno obciążenia jednostkowe i wyznaczamy momenty zginające. Obciążenia jednostkowe dla kątów obrotu mają charakter momentów jednostkowych. Obciążenia jednostkowe dla przemieszczeń liniowych charakter sił jednostkowych. Przemieszczenia wynikowe obliczamy ze wzoru Maxwella-Mohra
19. Obliczenie układu podstawowego dla X1
Działa tylko X1.
Sprawdzono poprawność obliczeń dla schematu statycznego.
Pręt 1-2 Mik=0 , Mki=1
Pręt 2-3 Mik=(-1) , Mki=1
Sprawdzono poprawność obliczeń dla schematu statycznego.
Pręt 1-2 Mik=0 , Mki=1
Pręt 2-3 Mik=(-1) , Mki=1
20. Suma Współczynników Kontrolnych
Składnik M obciążenie
Suma współczynników pomiarowych
[(0)]
[(0)]
Obliczenia dokonane w programie Metor.