Metoda Sił - Podejście Maxwella-Mohra
Metoda sił – metoda służąca do rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych (belek, ram, kratownic). Co to są układy statycznie niewyznaczalne? – możesz dowiedzieć się tutaj.
Algorytm obliczeń:
1. Ustalanie stopnia statycznej niewyznaczalności układu.
2. Przyjęcie układu podstawowego i układu równań metody sił.
3. Obliczanie układu podstawowego dla sił wirtualnych X.
4. Obliczanie współczynników macierzy sztywności.
5. Obliczanie układu podstawowego dla stanu P.
6. Współczynniki wyrazów wolnych.
7. Macierz współczynników i wyrazów wolnych.
8. Obliczanie i sprawdzenie reakcji podporowych.
9. Obliczanie momentów przywęzłowych, sił tnących, sił normalnych.
1. Ustalanie stopnia statycznej niewyznaczalności układu.
2. Przyjęcie układu podstawowego i układu równań metody sił.
3. Obliczanie układu podstawowego dla sił wirtualnych X.
4. Obliczanie współczynników macierzy sztywności.
5. Obliczanie układu podstawowego dla stanu P.
6. Współczynniki wyrazów wolnych.
7. Macierz współczynników i wyrazów wolnych.
8. Obliczanie i sprawdzenie reakcji podporowych.
9. Obliczanie momentów przywęzłowych, sił tnących, sił normalnych.
Zadanie: Wyznaczyć wykresy M, T, N dla dla ramy przedstawionej na poniższym schemacie przy pomocy metody sił.
1. Schemat zadania.
Przyjęto przekrój podstawowy: I= 3060[cm4] E= 205[GPa]
Globalne EI= 6273[kNm²]
Globalne EA= 809750[kN]
Globalne EI= 6273[kNm²]
Globalne EA= 809750[kN]
2. Ustalenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu SSN
Liczba tarcz: T=1
Więzi podporowe: P=4
Przeguby sprowadzone: węzłowe R0=0, dołączone R1=0
Pola zamknięte sprowadzone: Pz=3·(0-1)=-3
Połączenie wewnętrzne teleskopowe typu łyżwa: Stł=0
Połączenie wewnętrzne teleskopowe typu tuleja: Stt=0
Wzór ogólny SSN=-P+R0+R1+Stł+Stt-Pz
SSN=-4+0+0+0+0-(-3)=(-1) nadliczbowe 1
Liczba tarcz: T=1
Więzi podporowe: P=4
Przeguby sprowadzone: węzłowe R0=0, dołączone R1=0
Pola zamknięte sprowadzone: Pz=3·(0-1)=-3
Połączenie wewnętrzne teleskopowe typu łyżwa: Stł=0
Połączenie wewnętrzne teleskopowe typu tuleja: Stt=0
Wzór ogólny SSN=-P+R0+R1+Stł+Stt-Pz
SSN=-4+0+0+0+0-(-3)=(-1) nadliczbowe 1
Współrzędne węzłów:
węzeł 1 x=[0.000][m], y=[0.000][m]
węzeł 2 x=[2.000][m], y=[0.000][m]
węzeł 3 x=[2.000][m], y=[2.000][m]
węzeł 2 x=[2.000][m], y=[0.000][m]
węzeł 3 x=[2.000][m], y=[2.000][m]
3. Przyjęcie układu podstawowego
Aby dany układ był statycznie wyznaczalny należy zastąpić 1 nieznane nadliczbowe siłami zastępczymi X Powstały układ podstawowy musi jednak spełniać warunek geometrycznej niezmienności
Aby dany układ był statycznie wyznaczalny należy zastąpić 1 nieznane nadliczbowe siłami zastępczymi X Powstały układ podstawowy musi jednak spełniać warunek geometrycznej niezmienności
Układ równań metody sił dla układu podstawowego
4. Obliczenie układu podstawowego dla X1
Działa tylko X1.
Sprawdzono poprawność obliczeń dla schematu statycznego.
Pręt 1-2 Mik=0 , Mki=1
Pręt 2-3 Mik=(-1) , Mki=1
Działa tylko X1.
Sprawdzono poprawność obliczeń dla schematu statycznego.
Pręt 1-2 Mik=0 , Mki=1
Pręt 2-3 Mik=(-1) , Mki=1
5. Obliczenie współczynników macierzy sztywności
Dla prętów o osiach prostych i stałym EI, EA, GA do obliczania współczynników można stosować: wzór Mohra (Wereszczagina) ,wzór trapezów, wzór Simpsona lub inne. Gotowe wzory Wereszczagina czy wzór Simpsona można stosować dla przypadków z ograniczeniami. Najbardziej uniwersalnym i bez ograniczeń jest wzór Mohra z wersją całkowania przebiegu funkcji wykresu. Określenie przebiegu funkcji wykresu przy znanym obciążeniu nie jest problemem. Środek ciężkości i pole obliczymy wtedy poprzez całkowanie. Mając Pole wykresu, środek ciężkości i funkcje przebiegu wykresu bezproblemowo zastosujemy:∫F(x) f(x)dx = ΩF f(xc) , ΩF – pole wykresu funkcji F(x) w przedziale całkowania, f(xc) – wartość funkcji f(x) w punkcie xc , w którym znajduje się środek ciężkości funkcji F(x).
Dla prętów o osiach prostych i stałym EI, EA, GA do obliczania współczynników można stosować: wzór Mohra (Wereszczagina) ,wzór trapezów, wzór Simpsona lub inne. Gotowe wzory Wereszczagina czy wzór Simpsona można stosować dla przypadków z ograniczeniami. Najbardziej uniwersalnym i bez ograniczeń jest wzór Mohra z wersją całkowania przebiegu funkcji wykresu. Określenie przebiegu funkcji wykresu przy znanym obciążeniu nie jest problemem. Środek ciężkości i pole obliczymy wtedy poprzez całkowanie. Mając Pole wykresu, środek ciężkości i funkcje przebiegu wykresu bezproblemowo zastosujemy:∫F(x) f(x)dx = ΩF f(xc) , ΩF – pole wykresu funkcji F(x) w przedziale całkowania, f(xc) – wartość funkcji f(x) w punkcie xc , w którym znajduje się środek ciężkości funkcji F(x).
Gdzie: Sy – moment statyczny względem osi Y, A – pole powierzchni wykresu z osią OX
Obliczenia Całek dołączono osobnym zbiorem do projektu. Metodę liczenia przyjęto w zależności od wybranej opcji sposobu liczenia.
Obliczenia Całek dołączono osobnym zbiorem do projektu. Metodę liczenia przyjęto w zależności od wybranej opcji sposobu liczenia.
6. Obliczenie współczynników X
7. Współczynniki Macierzy Sztywności
Składnik M nadliczbowa
Składnik M nadliczbowa
Macierz sztywności bez podzielenia przez EI, EA, GA
[0.0004251]
[0.0004251]
8. Obliczenie układu podstawowego dla Stan P
W celu ułatwienia całkowania układ obciążamy kolejno poszczególnymi obciążeniami stanu P
W celu ułatwienia całkowania układ obciążamy kolejno poszczególnymi obciążeniami stanu P
działa tylko P0, sprawdzono poprawność obliczeń dla schematu statycznego
Pręt 1-2 Mik=0 , Mki=(-10) kNm
Pręt 2-3 Mik=10 , Mki=0 kNm
Pręt 1-2 Mik=0 , Mki=(-10) kNm
Pręt 2-3 Mik=10 , Mki=0 kNm
działa tylko q0, sprawdzono poprawność obliczeń dla schematu statycznego
Pręt 1-2 Mik=0 , Mki=0 kNm
Pręt 2-3 Mik=0 , Mki=0 kNm
Pręt 1-2 Mik=0 , Mki=0 kNm
Pręt 2-3 Mik=0 , Mki=0 kNm
działa tylko M0, sprawdzono poprawność obliczeń dla schematu statycznego
Pręt 1-2 Mik=0 , Mki=10 kNm
Pręt 2-3 Mik=0 , Mki=0 kNm
Pręt 1-2 Mik=0 , Mki=10 kNm
Pręt 2-3 Mik=0 , Mki=0 kNm
działa tylko SilosAll, sprawdzono poprawność obliczeń dla schematu statycznego
Pręt 1-2 Mik=0 , Mki=6.875 kNm
Pręt 2-3 Mik=3.125 , Mki=6.875 kNm
Pręt 1-2 Mik=0 , Mki=6.875 kNm
Pręt 2-3 Mik=3.125 , Mki=6.875 kNm
9. Obliczenie współczynników obciążenia
10. Współczynniki Wyrazów Wolnych
Składnik M obciążenie
Składnik M obciążenie
Wyrazy Wolne
[0]
[0]
11. Macierz Współczynników i Wyrazów Wolnych
Składnik M nadliczbowa
Składnik M nadliczbowa
Składnik M obciążenie
Układ równań kanonicznych materiałowy
[0.0004251]*[X1]+0=[0]
Po rozwiązaniu układu otrzymano:
X1=6.875 kNm
[0.0004251]*[X1]+0=[0]
Po rozwiązaniu układu otrzymano:
X1=6.875 kNm
12.SilosAll Obliczenie MTN dla wszystkich działających i obliczonych oddziaływań
Obciążamy układ podstawowy obliczonymi reakcjami nadliczbowymi oraz obciążeniem istniejącym
Obciążamy układ podstawowy obliczonymi reakcjami nadliczbowymi oraz obciążeniem istniejącym
Składniki układu równań dla sumy X i sumy Y
Składniki układu równań dla sumy M w punkcie [0;0]
Składniki układu równań dla sumy X lub sumy Y
Układ równań
Po rozwiązaniu układu otrzymano:
Rp1=6.5625 kN
H3=10 kN
V3=13.4375 kN
Rp1=6.5625 kN
H3=10 kN
V3=13.4375 kN
13. Sprawdzenie Reakcji Podporowych Moment
Sprawdzenia poprawności wyznaczenia reakcji podporowych dokonamy w punkcie [(-1); (-1)] układzie XY Punkt musi być tak dobrany, aby wszystkie siły i reakcje brały udział w obliczaniu Sumy Momentów W punkcie tym Suma Momentów od wszystkich sił i reakcji powinna wynosić M=0
Sprawdzenia poprawności wyznaczenia reakcji podporowych dokonamy w punkcie [(-1); (-1)] układzie XY Punkt musi być tak dobrany, aby wszystkie siły i reakcje brały udział w obliczaniu Sumy Momentów W punkcie tym Suma Momentów od wszystkich sił i reakcji powinna wynosić M=0
14. Sprawdzenie Reakcji Podporowych Rzut X
15. Sprawdzenie Reakcji Podporowych Rzut Y
16. Ocena Wyników Obliczeń
Z uwagi na spełnione warunki:
ΣM=0.0, ΣX=0.0, ΣY=0.0
Ocena: obliczenia prawidłowe
Z uwagi na spełnione warunki:
ΣM=0.0, ΣX=0.0, ΣY=0.0
Ocena: obliczenia prawidłowe
17. Obliczenie Momentów przywęzłowych
Pręt 1-2 Mik=0 , Mki=6.875 kNm
Pręt 2-3 Mik=3.125 , Mki=6.875 kNm
Pręt 1-2 Mik=0 , Mki=6.875 kNm
Pręt 2-3 Mik=3.125 , Mki=6.875 kNm
18. Obliczenie Sił Tnących
19. Obliczenie sił Normalnych
Aby Węzeł był w równowadze to suma jego składowych sił i reakcji rzutowana na oś X i oś Y musi być równa zero
Aby Węzeł był w równowadze to suma jego składowych sił i reakcji rzutowana na oś X i oś Y musi być równa zero
Obliczenia rozpoczynamy od Węzła, dla którego liczba niewiadomych sił w Prętach jest <=2
Elementy szukane oznaczono kolorem czerwonym.
Elementy zerowe są przedstawione w tle rysunku.
Wybrano Węzeł =1
Elementy szukane oznaczono kolorem czerwonym.
Elementy zerowe są przedstawione w tle rysunku.
Wybrano Węzeł =1
Wybrano Węzeł =2
20. Sprawdzenie Kinematyczne
Sprawdzamy czy przemieszczenia w poszczególnych punktach spełniają warunki podparcia i ciągłości. Wystarczy sprawdzić tyle składowych ile wynosi SSN (Stopień Statycznej Niewyznaczalności). Przekształcamy schemat naszego układu na statycznie wyznaczalny poprzez redukcje Nadliczbowych więzów. W miejscach usuniętych nadliczbowych przykładamy kolejno obciążenia jednostkowe i wyznaczamy momenty zginające. Obciążenia jednostkowe dla kątów obrotu mają charakter momentów jednostkowych. Obciążenia jednostkowe dla przemieszczeń liniowych charakter sił jednostkowych. Przemieszczenia wynikowe obliczamy ze wzoru Maxwella-Mohra
Sprawdzamy czy przemieszczenia w poszczególnych punktach spełniają warunki podparcia i ciągłości. Wystarczy sprawdzić tyle składowych ile wynosi SSN (Stopień Statycznej Niewyznaczalności). Przekształcamy schemat naszego układu na statycznie wyznaczalny poprzez redukcje Nadliczbowych więzów. W miejscach usuniętych nadliczbowych przykładamy kolejno obciążenia jednostkowe i wyznaczamy momenty zginające. Obciążenia jednostkowe dla kątów obrotu mają charakter momentów jednostkowych. Obciążenia jednostkowe dla przemieszczeń liniowych charakter sił jednostkowych. Przemieszczenia wynikowe obliczamy ze wzoru Maxwella-Mohra
21. Obliczenie układu podstawowego dla X1
Działa tylko X1.
Sprawdzono poprawność obliczeń dla schematu statycznego.
Pręt 1-2 Mik=0 , Mki=1
Pręt 2-3 Mik=(-1) , Mki=1
Działa tylko X1.
Sprawdzono poprawność obliczeń dla schematu statycznego.
Pręt 1-2 Mik=0 , Mki=1
Pręt 2-3 Mik=(-1) , Mki=1
22. Obliczenie współczynników obciążenia
23. Suma Współczynników Kontrolnych
Składnik M obciążenie
Składnik M obciążenie
Suma współczynników pomiarowych
[0]
[0]
Obliczenia dokonane w programie Silos.
Zobacz także obliczenia metody sił metodą Simpsona oraz sposobem Wereszczagina-Mohra.