Momenty bezwładności - krok po kroku, przykład nr 2
Zadanie: Wyznaczyć położenie głównych centralnych osi bezwładności i obliczyć główne centralne momenty bezwładności
1. Schemat układu
Ai [cm4] – pole powierzchni figury „i”
xi [cm] – współrzędna X środka ciężkości figury „i” w układzie globalnym
yi[cm] – współrzędna Y środka ciężkości figury „i” w układzie globalnym
Si = (xi, yi) – współrzędne środka ciężkości figury „i”
Syi = Ai * xi [cm3] – moment statyczny względem osi Y w układzie globalnym
Sxi = Ai * yi [cm3] – moment statyczny względem osi X w układzie globalnym
xc [cm] – współrzędna X środka ciężkości układu figur (figury całkowitej) w układzie globalnym
yc [cm] – współrzędna Y środka ciężkości układu figur (figury całkowitej) w układzie globalnym
xci [cm] – odległość X pomiędzy środkiem ciężkości figury „i” a środkiem ciężkości całego układu
yci [cm] – odległość Y pomiędzy środkiem ciężkości figury „i” a środkiem ciężkości całego układu
Jxi [cm4] – moment bezwładności figury „i” względem osi X
Jyi [cm4] – moment bezwładności figury „i” względem osi Y
Dxyi [cm4] – dewiacyjny moment bezwładności figury „i”
Ai * x2ci [cm4] – element do wzoru Steinera
Ai * y2ci [cm4] – element do wzoru Steinera
Ai * xci * yci [cm4] – element do wzoru Steinera
[… tablice] lub Red Book – wartość odczytana z Tablic Inżynierskich
……………………………………………………………………………………………………………….
Transformacja Kątowa: współrzędne X i Y obliczamy ze wzorów na obrót układu:
X = X’ * cos(φ) – Y’ * sin(φ)
Y = X’ * sin(ϕ) + Y’ * cos(φ)
gdzie X i Y to punkt po transformacji kątowej a X’ i Y’ punkt przed transformacją kątową
gdzie φ to kąt obrotu figury układ X’Y’ względem układu XY – jeżeli jest on zgodny z ruchem wskazówek zegara to jest on ujemny
……………………………………………………………………………………………………………….
Transformacja Liniowa: współrzędne xi i yi obliczamy ze wzorów na przesunięcie układu:
gdzie dX i dY to współrzędne początku figury w nowym położeniu
xi = dX + x’
yi = dX + y’
……………………………………………………………………………………………………………….
Obliczenie nowych wartości środka ciężkości figury po obrocie o kąt i przesunięciu do punktu docelowego. Figura znajduje się teraz w takim położeniu jak wzory podane na obliczanie momentów. Układ taki nazywamy układem lokalnym figury.
2.1. Figura Prostokąt b=11[cm] h=6[cm]
kąt OX: 0 [stopnie]
transformacja liniowa figury do punktu docelowego o wektor dX i dY
Wartości Jx1, Jy1, Dxy1 w układzie x1y1 bez obrotu figury
kąt nachylenia jest równy zero względem naszego układu XY
2.1.1. Ocena czy figura podana został jako ujemna
pole dodatnie: figura została podana jako dodatnia wartości: Jxi, Jyi, Dxyi zostaną przy swoich znakach
transformacja liniowa figury do punktu docelowego o wektor dX i dY
Wartości Jx2, Jy2, Dxy2 w układzie x2y2 bez obrotu figury
2.2.1. Układ nachylony nie występuje
kąt nachylenia jest równy zero względem naszego układu XY
pole ujemne: figura została podana jako ujemna wartość: A – pole powierzchni zostało zmienione na ujemne
……………………………………………………………………………………………………………….
Transformacja kątowa : figury w układzie lokalnym o kąt
……………………………………………………………………………………………………………….
transformacja liniowa figury do punktu docelowego o wektor dX i dY
[…tablice]
α = -24.1611°
Momenty wejściowe do oblcizenia układu nachylkonego
2.3.2. Jx3 w układzie nachylonym
2.3.3. Jy3 w układzie nachylonym
2.3.4. Dxy3 w układzie nachylonym
2.3.4. Ocena czy figura została podana jako ujemna
……………………………………………………………………………………………………………….
4. Odległości od środka ciężkości figury do środka ciężkości układu
5. Centralne Momenty bezwładności dla układu xc,yc względem środka ciężkości Osi Centralnych