Momenty bezwładności - krok po kroku, przykład nr 2

Rectan

07 Kwietnia, 20189

Zadanie: Wyznaczyć położenie głównych centralnych osi bezwładności i obliczyć główne centralne momenty bezwładności

1. Schemat układu

Rys.1. Schemat układu dla przykładu nr 2
Oznaczenia:
i – nr figury, gdzie i = (1,2,3,…,n)
Ai [cm4] – pole powierzchni figury „i”
xi [cm] –  współrzędna X środka ciężkości figury „i” w układzie globalnym
yi[cm] – współrzędna Y środka ciężkości figury „i” w układzie globalnym
Si = (xi, yi) – współrzędne środka ciężkości figury „i”
Syi = Ai * xi [cm3] –  moment statyczny względem osi Y w układzie globalnym
Sxi = Ai * yi [cm3] –  moment statyczny względem osi X w układzie globalnym
xc [cm] – współrzędna X środka ciężkości układu figur (figury całkowitej) w układzie globalnym
yc [cm] –  współrzędna Y środka ciężkości układu figur (figury całkowitej) w układzie globalnym
xci [cm] – odległość X pomiędzy środkiem ciężkości figury „i” a środkiem ciężkości całego układu
yci [cm] – odległość Y pomiędzy środkiem ciężkości figury „i” a środkiem ciężkości całego układu
Jxi [cm4] –  moment bezwładności figury „i” względem osi X
Jyi [cm4] –  moment bezwładności figury „i” względem osi Y
Dxyi [cm4] –  dewiacyjny moment bezwładności figury „i”
Ai * x2ci [cm4] –  element  do wzoru Steinera
Ai * y2ci [cm4] – element do wzoru Steinera
Ai * xci * yci [cm4] –  element do wzoru Steinera
[…  tablice]  lub Red Book –  wartość odczytana z Tablic Inżynierskich
……………………………………………………………………………………………………………….
Transformacja Kątowa: współrzędne X i Y obliczamy ze wzorów na obrót układu:
X = X’ * cos(φ) – Y’ * sin(φ)
Y = X’ * sin(ϕ) + Y’ * cos(φ)
gdzie  X i Y to punkt po transformacji kątowej a X’ i Y’ punkt przed transformacją kątową
gdzie  φ to kąt obrotu figury układ X’Y’ względem układu XY – jeżeli jest on zgodny z ruchem wskazówek zegara to jest on ujemny
……………………………………………………………………………………………………………….
Transformacja Liniowa: współrzędne xi i yi obliczamy ze wzorów na przesunięcie układu:
gdzie dX i dY to współrzędne początku figury w nowym położeniu
xi = dX + x’
yi = dX + y’
……………………………………………………………………………………………………………….
2. Charakterystyki geometryczne poszczególnych figur układu

Obliczenie nowych wartości środka ciężkości figury po obrocie o kąt i przesunięciu do punktu docelowego. Figura znajduje się teraz w takim położeniu jak wzory podane na obliczanie momentów. Układ taki nazywamy układem lokalnym figury.

2.1. Figura Prostokąt b=11[cm] h=6[cm]

kąt OX: 0  [stopnie]

transformacja liniowa figury do punktu docelowego o wektor dX i dY

Wartości Jx1, Jy1, Dxy1 w układzie x1y1 bez obrotu figury

2.1.1. Układ nachylony nie występuje

kąt nachylenia jest równy zero względem naszego układu XY

2.1.1. Ocena czy figura podana został jako ujemna

pole dodatnie: figura została podana jako dodatnia wartości: Jxi, Jyi, Dxyi zostaną przy swoich znakach

2.2.Figura ćwiartka koła  r=4[cm]
kąt OX: 0  [stopnie]
transformacja liniowa figury do punktu docelowego o wektor dX i dY

Wartości Jx2, Jy2, Dxy2 w układzie x2y2 bez obrotu figury

2.2.1. Układ nachylony nie występuje

kąt nachylenia jest równy zero względem naszego układu XY

pole ujemne: figura została podana jako ujemna wartość: A – pole powierzchni zostało zmienione na ujemne

……………………………………………………………………………………………………………….

2.3. Figura Dwuteownik 120 INP
kąt OX: -24.161074  [stopnie]
Transformacja kątowa :  figury w układzie lokalnym o kąt

……………………………………………………………………………………………………………….

transformacja liniowa figury do punktu docelowego o wektor dX i dY

Wartości Jx3, Jy3, Dxy3 w układzie x3y3 bez obrotu figury
[…tablice]
2.3.1. Momenty i dewiacje dla układu nachylonego względem naszego układu XY
(ponieważ kąt nachylenia  analizowanej figury jest różny od  zera i wynosi jak poniżej to należy obliczyć układ nachylony)
α = -24.1611°
Momenty wejściowe do oblcizenia układu nachylkonego

2.3.2. Jx3 w układzie nachylonym

2.3.3. Jy3 w układzie nachylonym

2.3.4. Dxy3 w układzie nachylonym

2.3.4. Ocena czy figura została podana jako ujemna

pole dodatnie: figura została podana jako dodatnia, wartości: Jx3, Jy3, Dxy3 zostaną przy swoich znakach
……………………………………………………………………………………………………………….
Rys. 2. Środki ciężkości figur w układzie
3. Położenie głównych centralnych osi bezwładności (xc,yc) względem układu XY
Tabela środki ciężkości figur w układzie
Rys. 3. Główne centralne osi bezwładności

4. Odległości od środka ciężkości figury do środka ciężkości układu

4.1. Figura Prostokąt  b=11[cm] h=6[cm]
4.2. Figura ćwiartka koła  r=4[cm]
4.3. Figura Dwuteownik 120 INP
Rys. 4. Odległości środków ciężkości poszczególnych figur do środka ciężkości układu

5. Centralne Momenty bezwładności dla układu xc,yc względem środka ciężkości Osi Centralnych

Tabela momenty i dewiacje
Sumy częściowe Jxi, Jyi, Dxyi
Elementy do wzoru Steinera:
6. Jxc,Jyc Dxyc całego układu zgodnie z twierdzeniem Steinera
To są centralne momenty bezwładności układu figur
7. Kąt alfa głównych centranych osi bezwładności
Rys. 5. Kąt alfa, rysunek końcowy
8. Główne centralne momenty bezwładności
8.1. Jmax
8.2. Jmin
9. Sprawdzenie
9.1. Niezmiennik J1
9.2. Niezmiennik J2
10. Momenty bezwładności dla naszego układu XY w punkcie [0,0]
Close Menu
×