Momenty statyczne figur płaskich

sierpnia 6, 2018

Wprowadzenie

Moment statyczny figury płaskiej to podstawowe pojęcie w mechanice, niezbędne do wyznaczania środka ciężkości figur złożonych oraz obliczania właściwości geometrycznych przekrojów.

Definicja

Momentem statycznym figury płaskiej nazywamy iloczyn pola powierzchni figury oraz odległości jej środka geometrycznego (środka ciężkości) od osi, względem której moment jest liczony.

Sx_i = A_i \cdot y_i

Sy_i = A_i \cdot x_i

Gdzie:

$Sx_i$ - moment statyczny figury względem osi x
$Sy_i$ - moment statyczny figury względem osi y
$A_i$ - pole powierzchni figury
$x_i$ , $y_i$ - współrzędne środka ciężkości figury

Moment statyczny może przyjmować wartość dodatnią lub ujemną. Jest wyrażany w jednostkach długości do trzeciej potęgi (m³, cm³, itd.). Jeżeli suma cząstkowych momentów statycznych względem danej osi jest równa zero, to oś ta przechodzi przez środek ciężkości figury.

Wzory na środek ciężkości

Środek ciężkości układu figur możemy obliczyć korzystając z poniższych wzorów:

x_c = \frac{\sum Sy_i}{\sum A_i} = \frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i} = \frac{A_1 \cdot x_1 + A_2 \cdot x_2 + A_3 \cdot x_3 + \cdots + A_n \cdot x_n}{A_1 + A_2 + A_3 + \cdots + A_n}

y_c = \frac{\sum Sx_i}{\sum A_i} = \frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i} = \frac{A_1 \cdot y_1 + A_2 \cdot y_2 + A_3 \cdot y_3 + \cdots + A_n \cdot y_n}{A_1 + A_2 + A_3 + \cdots + A_n}

Przykład obliczeniowy

Załóżmy, że chcemy wyznaczyć środek ciężkości poniższego układu figur.

Najpierw musimy policzyć moment statyczny względem osi, które możemy dobrać wedle uznania, oraz pole całkowite wszystkich figur.

Rys. 2. Układ figur z osią współrzędnych

Figura 1 (prawa)

Zajmijmy się najpierw figurą po prawej.

A_1 = a \cdot b = 2\ cm \cdot 3\ cm = 6\ cm^2

Sx_1 = A_1 \cdot y_1 = 6\ cm^2 \cdot 3\ cm \cdot \frac{1}{2} = 9\ cm^3

Sy_1 = A_1 \cdot x_1 = 6\ cm^2 \cdot \left(2\ cm + 2\ cm \cdot \frac{1}{2}\right) = 18\ cm^3

Figura 2 (lewa)

Teraz obliczmy niezbędne charakterystyki figury po lewej stronie.

A_2 = a \cdot b = 2\ cm \cdot 3\ cm = 6\ cm^2

Sx_2 = A_2 \cdot y_2 = 6\ cm^2 \cdot 3\ cm \cdot \frac{1}{2} = 9\ cm^3

Sy_2 = A_2 \cdot x_2 = 6\ cm^2 \cdot 2\ cm \cdot \frac{1}{2} = 6\ cm^3

Obliczenie środka ciężkości układu

Mając powyższe dane, możemy obliczyć środek ciężkości układu figur płaskich.

x_c = \frac{\sum Sy_i}{\sum A_i} = \frac{Sy_1 + Sy_2}{A_1 + A_2} = \frac{18\ cm^3 + 6\ cm^3}{6\ cm^2 + 6\ cm^2} = \frac{24\ cm^3}{12\ cm^2} = 2\ cm

y_c = \frac{\sum Sx_i}{\sum A_i} = \frac{Sx_1 + Sx_2}{A_1 + A_2} = \frac{9\ cm^3 + 9\ cm^3}{6\ cm^2 + 6\ cm^2} = \frac{18\ cm^3}{12\ cm^2} = 1{,}5\ cm

Obliczyliśmy współrzędne środka ciężkości układu: $x_c = 2\ cm$ oraz $y_c = 1{,}5\ cm$ .

Rys. 3. Położenie środka ciężkości układu figur

Podsumowanie

Momenty statyczne figur płaskich pozwalają na wyznaczenie środka ciężkości układu figur złożonych. Kluczowe kroki to:

Podział figury złożonej na prostsze elementy
Wyznaczenie pola powierzchni każdego elementu
Obliczenie momentów statycznych poszczególnych elementów względem przyjętych osi
Wyznaczenie współrzędnych środka ciężkości całego układu z odpowiednich wzorów

Metoda ta znajduje szerokie zastosowanie w mechanice konstrukcji, w szczególności przy obliczaniu właściwości geometrycznych przekrojów belek i słupów.

Ostatnia aktualizacja: stycznia 17, 2026

Wprowadzenie do obliczeń charakterystyk figur płaskich Momenty bezwładności figur płaskich