Oś Obojętna i Mimośrodowe Rozciąganie

kwietnia 30, 2019

Obliczenia naprężeń wykonamy na podstawie przykładu nr 2 (cały przykład możesz zobaczyć – tutaj).

Poszukiwane naprężenia przekroju wyznaczone zostaną we współrzędnych głównych $X_g Y_g$ .

Współrzędne wierzchołków Convex przekroju w układzie $X_g Y_g$ obliczone będą ze wzorów:

x_{igl} = y_{ic} \cdot \sin(\alpha) + x_{ic} \cdot \cos(\alpha)

y_{igl} = y_{ic} \cdot \cos(\alpha) - x_{ic} \cdot \sin(\alpha)

gdzie: $x_{ic} y_{ic}$ to współrzędne w układzie osi centralnych

gdzie: $\alpha = 36{,}6386$ to kąt nachylenia osi głównych

gdzie: $\sin(\alpha) = 0{,}5968$ , $\cos(\alpha) = 0{,}8024$

Współrzędne wierzchołków Convex w układzie $X_c Y_c$ obliczone będą ze wzorów:

x_{ic} = x_i - X_c

y_{ic} = y_i - Y_c

gdzie: $X_c Y_c$ to współrzędne środka ciężkości w układzie osi $X_0 Y$

Punkt 1

x_c = (-0{,}2919) - 10{,}0118 = -10{,}3037\ \ \mathrm{cm}\

y_c = 5{,}626 - 6{,}0533 = -0{,}4274\ \ \mathrm{cm}\

x_{gl} = (-0{,}4274) \cdot 0{,}5968 + (-10{,}3037) \cdot 0{,}8024 = -8{,}5229\ \ \mathrm{cm}\

y_{gl} = (-0{,}4274) \cdot 0{,}8024 - (-10{,}3037) \cdot 0{,}5968 = 5{,}806\ \ \mathrm{cm}\

Punkt 2

x_c = 5 - 10{,}0118 = -5{,}0118\ \ \mathrm{cm}\

y_c = 10 - 6{,}0533 = 3{,}9467\ \ \mathrm{cm}\

x_{gl} = 3{,}9467 \cdot 0{,}5968 + (-5{,}0118) \cdot 0{,}8024 = -1{,}6663\ \ \mathrm{cm}\

y_{gl} = 3{,}9467 \cdot 0{,}8024 - (-5{,}0118) \cdot 0{,}5968 = 6{,}1577\ \ \mathrm{cm}\

Punkt 3

x_c = 16 - 10{,}0118 = 5{,}9882\ \ \mathrm{cm}\

y_c = 10 - 6{,}0533 = 3{,}9467\ \ \mathrm{cm}\

x_{gl} = 3{,}9467 \cdot 0{,}5968 + 5{,}9882 \cdot 0{,}8024 = 7{,}1602\ \ \mathrm{cm}\

y_{gl} = 3{,}9467 \cdot 0{,}8024 - 5{,}9882 \cdot 0{,}5968 = -0{,}4067\ \ \mathrm{cm}\

Punkt 4

x_c = 16 - 10{,}0118 = 5{,}9882\ \ \mathrm{cm}\

y_c = 4 - 6{,}0533 = -2{,}0533\ \ \mathrm{cm}\

x_{gl} = (-2{,}0533) \cdot 0{,}5968 + 5{,}9882 \cdot 0{,}8024 = 3{,}5796\ \ \mathrm{cm}\

y_{gl} = (-2{,}0533) \cdot 0{,}8024 - 5{,}9882 \cdot 0{,}5968 = -5{,}2212\ \ \mathrm{cm}\

Punkt 5

x_c = 9{,}9118 - 10{,}0118 = -0{,}1001\ \ \mathrm{cm}\

y_c = (-2{,}9487) - 6{,}0533 = -9{,}0021\ \ \mathrm{cm}\

x_{gl} = (-9{,}0021) \cdot 0{,}5968 + (-0{,}1001) \cdot 0{,}8024 = -5{,}4524\ \ \mathrm{cm}\

y_{gl} = (-9{,}0021) \cdot 0{,}8024 - (-0{,}1001) \cdot 0{,}5968 = -7{,}1637\ \ \mathrm{cm}\

Punkt 6

x_c = 4{,}6199 - 10{,}0118 = -5{,}3919\ \ \mathrm{cm}\

y_c = (-5{,}3227) - 6{,}0533 = -11{,}3761\ \ \mathrm{cm}\

x_{gl} = (-11{,}3761) \cdot 0{,}5968 + (-5{,}3919) \cdot 0{,}8024 = -11{,}1154\ \ \mathrm{cm}\

y_{gl} = (-11{,}3761) \cdot 0{,}8024 - (-5{,}3919) \cdot 0{,}5968 = -5{,}9106\ \ \mathrm{cm}\

\sigma = -\frac{P}{A} + \frac{M_x}{J_x} \cdot y + \frac{M_y}{J_y} \cdot x =

\sigma_i = -\frac{P}{A}\left(1 + \frac{x_p \cdot x_i}{i_{ygl}^2} + \frac{y_p \cdot y_i}{i_{xgl}^2}\right) =

\sigma_1 = -\frac{1500}{67{,}6336}\left(1 + \frac{(-5{,}4524) \cdot (-8{,}5229)}{17{,}372} + \frac{(-7{,}1637) \cdot 5{,}806}{9{,}5385}\right) = 15{,}202\ \frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{cm}^2}

\sigma_2 = -\frac{1500}{67{,}6336}\left(1 + \frac{(-5{,}4524) \cdot (-1{,}6663)}{17{,}372} + \frac{(-7{,}1637) \cdot 6{,}1577}{9{,}5385}\right) = 68{,}7893\ \frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{cm}^2}

\sigma_3 = -\frac{1500}{67{,}6336}\left(1 + \frac{(-5{,}4524) \cdot 7{,}1602}{17{,}372} + \frac{(-7{,}1637) \cdot (-0{,}4067)}{9{,}5385}\right) = 20{,}8898\ \frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{cm}^2}

\sigma_4 = -\frac{1500}{67{,}6336}\left(1 + \frac{(-5{,}4524) \cdot 3{,}5796}{17{,}372} + \frac{(-7{,}1637) \cdot (-5{,}2212)}{9{,}5385}\right) = -84{,}2275\ \frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{cm}^2}

\sigma_5 = -\frac{1500}{67{,}6336}\left(1 + \frac{(-5{,}4524) \cdot (-5{,}4524)}{17{,}372} + \frac{(-7{,}1637) \cdot (-7{,}1637)}{9{,}5385}\right) = -179{,}4548\ \frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{cm}^2}

\sigma_6 = -\frac{1500}{67{,}6336}\left(1 + \frac{(-5{,}4524) \cdot (-11{,}1154)}{17{,}372} + \frac{(-7{,}1637) \cdot (-5{,}9106)}{9{,}5385}\right) = -198{,}003\ \frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{cm}^2}

Wzór podstawowy równania osi obojętnej we współrzędnych głównych $X_g Y_g$ :

1 + \frac{x_p \cdot x}{i_{ygl}^2} + \frac{y_p \cdot y}{i_{xgl}^2} = 0

1 + \frac{(-5{,}4524) \cdot x}{17{,}372} + \frac{(-7{,}1637) \cdot y}{9{,}5385} = 0

Przyjęto parametry $W$ i $G$ dla ułatwienia obliczeń układu liniowego prostej:

W = \frac{x_p}{i_{ygl}^2} = -\frac{(-5{,}4524)}{17{,}372} = -0{,}3139

G = \frac{y_p}{i_{xgl}^2} = -\frac{(-7{,}1637)}{9{,}5385} = -0{,}751

1 + W \cdot x + G \cdot y = 0

y \cdot G = -W \cdot x - 1

Dzieląc równanie przez $G$ otrzymujemy:

a = -\frac{W}{G} = -\frac{(-0{,}3139)}{(-0{,}751)} = -0{,}4179

b = -\frac{1}{G} = -\frac{1}{(-0{,}751)} = 1{,}3315

Równanie osi obojętnej w układzie osi Głównych $X_g Y_g$ :

y = ax + b = (-0{,}4179) \cdot x + 1{,}3315

Ostatnia aktualizacja: stycznia 17, 2026