Rdzeń Przekroju

kwietnia 30, 2019

Wprowadzenie

Rdzeń przekroju to obszar wokół środka ciężkości przekroju, w którym może być przyłożona siła normalna bez powodowania naprężeń rozciągających w żadnym punkcie przekroju.

Zadanie: Wyznaczyć rdzeń dla poniższego przekroju.

Obliczenia wykonamy na podstawie przykładu nr 2 (cały przykład możesz zobaczyć w artykule Momenty bezwładności - przykład nr 2).

1. Rdzeń przekroju

1.1. Kwadranty promieni bezwładności

Symbol $i^2$ traktujemy jako całość, nie zaś jako kwadrat liczby:

i_x^2 = \frac{Jx_c}{A} = \frac{833{,}8027}{67{,}6336} = 12{,}3282\ [\mathrm{cm}^2]

i_y^2 = \frac{Jy_c}{A} = \frac{986{,}2507}{67{,}6336} = 14{,}5823\ [\mathrm{cm}^2]

i_{xy}^2 = \frac{Dxy_c}{A} = \frac{253{,}7006}{67{,}6336} = 3{,}7511\ [\mathrm{cm}^2]

1.2. Relacje wierzchołków rdzenia

Poszukiwany rdzeń przekroju wyznaczony zostanie we współrzędnych centralnych $X_c$ , $Y_c$ .

Współrzędne wierzchołków rdzenia przekroju w układzie $X_cY_c$ obliczone będą ze wzorów:

x_p = -\frac{i_y^2}{a_x} - \frac{i_{xy}^2}{a_y}

y_p = -\frac{i_x^2}{a_y} - \frac{i_{xy}^2}{a_x}

gdzie $a_x$ , $a_y$ oznaczają współrzędne punktów przecięcia przyjętych osi obojętnych z osiami współrzędnych.

Osie współrzędnych przyjęto zgodnie z figurą spełniającą warunek wypukłości (convex).

Punkty przecięcia $a_x$ , $a_y$ policzono z warunku funkcji liniowej:

y = a \cdot x + b

b = y - a \cdot x

gdzie:

$a$ – współczynnik kierunkowy prostej
$p$ – współrzędne początku linii
$k$ – współrzędne końca linii

2. Obliczenia dla poszczególnych osi

2.1. Dla Osi 1 - linia ukośna

p = [5; 10] \ldots k = [(-0{,}2919); 5{,}626]

a = \frac{5{,}626 - 10}{(-0{,}2919) - 5} = 0{,}8266\ \mathrm{cm}

b = (-10) - 0{,}8266 \cdot 5 = 5{,}8672\ \mathrm{cm}

a_y = 5{,}8672 - 6{,}0533 + 0{,}8266 \cdot 10{,}0118 = 8{,}0892\ \mathrm{cm}

a_x = -\frac{8{,}0892}{0{,}8266} = -9{,}7867\ \mathrm{cm}

x_p = -\frac{14{,}5823}{(-9{,}7867)} - \frac{3{,}7511}{8{,}0892} = 1{,}0263\ \mathrm{cm}

y_p = -\frac{12{,}3282}{8{,}0892} - \frac{3{,}7511}{(-9{,}7867)} = -1{,}1407\ \mathrm{cm}

2.2. Dla Osi 2 - linia pozioma

p = [16; 10] \ldots k = [5; 10]

a = \infty

b = 10\ \mathrm{cm}

a_y = 10 - 6{,}0533 = 3{,}9467\ \mathrm{cm}

a_x = \infty

x_p = -\frac{14{,}5823}{\infty} - \frac{3{,}7511}{3{,}9467} = -0{,}9505\ \mathrm{cm}

y_p = -\frac{12{,}3282}{3{,}9467} - \frac{3{,}7511}{\infty} = -3{,}1237\ \mathrm{cm}

2.3. Dla Osi 3 - linia pionowa

p = [16; 4] \ldots k = [16; 10]

a = 16\ \mathrm{cm}

b = \infty

a_y = \infty

a_x = 16 - 10{,}0118 = 5{,}9882\ \mathrm{cm}

x_p = -\frac{14{,}5823}{5{,}9882} - \frac{3{,}7511}{\infty} = -2{,}4352\ \mathrm{cm}

y_p = -\frac{12{,}3282}{\infty} - \frac{3{,}7511}{5{,}9882} = -0{,}6264\ \mathrm{cm}

2.4. Dla Osi 4 - linia ukośna

p = [(-0{,}2919); 5{,}626] \ldots k = [4{,}6199; (-5{,}3227)]

a = \frac{(-5{,}3227) - 5{,}626}{4{,}6199 - (-0{,}2919)} = -2{,}2291\ \mathrm{cm}

b = (-5{,}626) - (-2{,}2291) \cdot (-0{,}2919) = 4{,}9753\ \mathrm{cm}

a_y = 4{,}9753 - 6{,}0533 + (-2{,}2291) \cdot 10{,}0118 = -23{,}3952\ \mathrm{cm}

a_x = -\frac{(-23{,}3952)}{(-2{,}2291)} = -10{,}4954\ \mathrm{cm}

x_p = -\frac{14{,}5823}{(-10{,}4954)} - \frac{3{,}7511}{(-23{,}3952)} = 1{,}5497\ \mathrm{cm}

y_p = -\frac{12{,}3282}{(-23{,}3952)} - \frac{3{,}7511}{(-10{,}4954)} = 0{,}8844\ \mathrm{cm}

2.5. Dla Osi 5 - linia ukośna

p = [9{,}9118; (-2{,}9487)] \ldots k = [16; 4]

a = \frac{4 - (-2{,}9487)}{16 - 9{,}9118} = 1{,}1413\ \mathrm{cm}

b = 2{,}9487 - 1{,}1413 \cdot 9{,}9118 = -14{,}2614\ \mathrm{cm}

a_y = (-14{,}2614) - 6{,}0533 + 1{,}1413 \cdot 10{,}0118 = -8{,}8879\ \mathrm{cm}

a_x = -\frac{(-8{,}8879)}{1{,}1413} = 7{,}7872\ \mathrm{cm}

x_p = -\frac{14{,}5823}{7{,}7872} - \frac{3{,}7511}{(-8{,}8879)} = -1{,}4505\ \mathrm{cm}

y_p = -\frac{12{,}3282}{(-8{,}8879)} - \frac{3{,}7511}{7{,}7872} = 0{,}9054\ \mathrm{cm}

2.6. Dla Osi 6 - linia ukośna

p = [4{,}6199; (-5{,}3227)] \ldots k = [9{,}9118; (-2{,}9487)]

a = \frac{(-2{,}9487) - (-5{,}3227)}{9{,}9118 - 4{,}6199} = 0{,}4486\ \mathrm{cm}

b = 5{,}3227 - 0{,}4486 \cdot 4{,}6199 = -7{,}3953\ \mathrm{cm}

a_y = (-7{,}3953) - 6{,}0533 + 0{,}4486 \cdot 10{,}0118 = -8{,}9572\ \mathrm{cm}

a_x = -\frac{(-8{,}9572)}{0{,}4486} = 19{,}9663\ \mathrm{cm}

x_p = -\frac{14{,}5823}{19{,}9663} - \frac{3{,}7511}{(-8{,}9572)} = -0{,}3116\ \mathrm{cm}

y_p = -\frac{12{,}3282}{(-8{,}9572)} - \frac{3{,}7511}{19{,}9663} = 1{,}1885\ \mathrm{cm}

3. Szkic projektu

Rys. 2. Rdzeń przekroju - szczegółowy widok z wszystkimi osiami obojętnymi i wierzchołkami rdzenia

Rys. 3. Rdzeń przekroju - uproszczony widok z zaznaczonym obszarem rdzenia (pomarańczowy)

Ostatnia aktualizacja: stycznia 17, 2026

Elipsa Bezwładności Oś Obojętna i Mimośrodowe Rozciąganie